2021年05月30日
意味がわかる微分・積分
本日は岡部恒治 氏、本丸諒 氏による
意味がわかる微分・積分
です。
本書は学生時代に微分や積分を習ったけど、
「あれは一体なんの意味があったんだろう」
という人向けに、意味を解説した一冊です。
高校数学では、どうしても「受験」から
逃げることはできません。
ですから、意味を考えることより、
問題を解くことが優先されます。
そんな中で、何となく関数を微分したり、
積分して面積を求めることはできるけど、
その意味がわからない、
という疑問にピッタリと答えてくれます。
導入や説明が秀逸なだけでなく、
この手の本では取り上げられることの少ない、
ニュートン近似まで取り上げられており、
まさに「意味」を学ぶ一冊です。
個人的には
「加々速度（ジャーク）」のコラムが
特に印象に残りました。
高校数学を学び直したい、
理系の大学生におすすめの一冊です。
霧が晴れたように理解できて、
さらに高度な数学の土台となるでしょう。
意味がわかる微分・積分
です。
本書は学生時代に微分や積分を習ったけど、
「あれは一体なんの意味があったんだろう」
という人向けに、意味を解説した一冊です。
高校数学では、どうしても「受験」から
逃げることはできません。
ですから、意味を考えることより、
問題を解くことが優先されます。
そんな中で、何となく関数を微分したり、
積分して面積を求めることはできるけど、
その意味がわからない、
という疑問にピッタリと答えてくれます。
導入や説明が秀逸なだけでなく、
この手の本では取り上げられることの少ない、
ニュートン近似まで取り上げられており、
まさに「意味」を学ぶ一冊です。
個人的には
「加々速度（ジャーク）」のコラムが
特に印象に残りました。
高校数学を学び直したい、
理系の大学生におすすめの一冊です。
霧が晴れたように理解できて、
さらに高度な数学の土台となるでしょう。
・積分……「面積」＝具体的で可視化しやすい
・微分……「接線の傾き」＝抽象的でイメージしにくい
砲弾の軌跡の研究が微分・積分を学問として
発展させたともいえるわけです
（そういえば、世界最初のコンピュータENIAC＝エニアックの当初の開発目的も「弾道計算」でした）
人工衛星の位置はsinやcosで表されますので、
三角関数の微分が利用されることになります。
原点付近でy=xとy=sinxのグラフは一致する！
明らかに、(a^x)や(log a x )のときの微分にくらべ、
(e^x)あるいは(log e x)の微分の方がすっきりしています。
（中略）
そういう理由もあって、「指数や対数の微分」といえば、
自然対数eを使うことが多くなるのです。
面積S(x)を微分すると、f(x)になったということは、
「微分の逆操作をすれば面積を求められる」
ということになります。
これが「積分」です。
薄い面積を多数集めれば、もとの体積が求められる
「加速度f'(x)をさらに微分したf''(x)には、加々速度とでもネーミングしておくか……」
と考えついた人は、正解です。
これは「加々速度（ジャーク）」と呼ばれ、
クルマの安全運転などに利用されているようです。
パップス・ギュルダンの定理
回転体の体積＝回転させる面積×重心の移動距離
カバリエリの原理――面積
２つの図形（ここでは１と２）があり、一定の間隔で線を引いたとき、
対応する線の長さ（ここではa,b,c,d……）が等しければ、
２つの図形の面積は等しい。
置換積分では、置き換えによって「区間」が
変更されることに注意する必要があります。
高校で積分計算ができるのは、
はじめから「積分ができる問題」を出しているからで、
現実的には積分できない関数が多いのです。
部分積分の目的は、本来ならg(x)を積分するべきなのに、
g(x)を積分するのがむずかしい……という場合に、
もう片方のf(x)を代わりに積分し、
g(x)は微分で済ませてしまおう、というものでした。
